Rationalizing the Denominator
A standard cleanup move for radical fractions.
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$의 값은 얼마쯤일까요? $\sqrt{2} \approx 1.414$이므로 약 $0.707$. 그런데 이걸 손으로 계산하기는 어렵습니다.
다행히 같은 수를 다른 모양으로 쓸 수 있습니다 — $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 이렇게 표현하면 $\sqrt{2} \approx 1.414$를 $2$로 나누면 끝. 훨씬 계산이 쉽습니다.
이렇게 분모에 있는 근호를 분자로 옮기고 분모를 유리수로 만드는 작업을 분모의 유리화(rationalizing the denominator)라 합니다. 핵심 기법은 단 하나 — 분모와 분자에 같은 근호를 곱하기.
Multiply top and bottom by the same root.
분모에 근호가 있으면 — 수의 크기를 가늠하기 어렵고, 다른 식과 더하거나 비교하기도 불편합니다. 그래서 분모를 유리수로 만드는 것이 표준입니다. 분자와 분모에 같은 근호를 곱하면 값은 변하지 않습니다 (분수 $1$을 곱하는 것과 같음).
핵심: 분자·분모에 똑같이 $\sqrt{a}$를 곱하므로 값은 변하지 않음. 그러나 분모의 $\sqrt{a}$가 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$로 되어 유리수가 됨.
예시:
① $\dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
② $\dfrac{6}{\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
③ $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Watch a fraction transform step by step.
When the denominator has two terms — multiply by its conjugate.
분모가 두 항의 합/차로 되어 있을 때 — 그 분모의 부호를 바꾼 식(켤레식, conjugate)을 분자·분모에 곱합니다. 핵심 도구는 곱셈공식 $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$.
예시: $\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}$ 유리화
$= \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} \times \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$
Input a fraction with a radical denominator — see it rationalized.
Quick checks on rationalization.
Basic and conjugate rationalization.
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. 식: $\dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$.
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
$\dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$.
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
분모의 유리화는 — 분자·분모에 같은 근호를 곱해 분모를 유리수로 만드는 표준 기법. 한 항이면 그 근호를, 두 항이면 켤레식을 곱한다. 곱셈공식 $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$가 켤레식의 비밀.